Semi-groupe de la chaleur transverse sur laC*-algèbre dʹun feuilletage riemannien

Résumé struction dʹune connexion transverse sur le fibré des demi-densités longitudinales dʹun feuilletage riemannien permet de présenter sur laC*-algèbre dʹun feuilletage un calcul différentiel transverse à lʹordre 1, cʹest-à-dire un “gradient transverse” à valeurs dans un bimodule “tangent” à laC*-algèbre, puis, à partir de la forme de Dirichlet et du Laplacien associés, le “semi-groupe de la chaleur transverse”, qui est a priori un semi-groupe de contractions complètement positives normales de lʹalgèbre de von Neumann du feuilletage, et dont on montre, au moins lorsque la variété est compacte, quʹil est markovien et quʹil préserve laC*-algèbre. ated structure on a manifold gives rise to a canonical connexion on the longitudinal half-densities bundle, through which a differential calculus is built on the foliationC*-algebra. In the case of a Riemannian foliation, we get a “transverse gradient” and the “transverse Laplace Beltrami operator” associated with it, which generates a quantum semigroup of completely positive contractions. This semigroup is shown to be Markovian, and preserving theC*-algebra of the foliation.