Actions, Norms, Subactions and Kernels of \\(Fuzzy) Norms

در اين مقاله، مفهوم عمل بعنوان تعميمي از مفهوم يك مدول، و مفهوم يك نرم كه درآن يك ميدان بوده و داراي خاصيت مي باشد، و نيز مفهوم نرم فازي كه در آن مجموعه اعداد حقيقي است را معرفي مي كنيم. همانطور كه در مثالها ديده مي شود بسياري از نگاشتهاي روي دستگاههاي جبري را مي توان بر حسب نرمها مدلسازي كرد، و نيز مي توان ديد كه داراي خواص مفيد زيادي است. بعضي از آنها را، كه بالاخص مرتبط با توصيف نرمهاي فازي متممهاي زير عملهاي از مي باشند، مورد بررسي قرار مي دهيم.

n this paper, we introduce the notion of an action $Y_X$ as a generalization of the notion of a module, and the notion of a norm $\vt: Y_X\to F$, where $F$ is a field and $\vartriangle(xy)\vartriangle(yʹ) =$ $ \vartriangle(y)\vartriangle(xyʹ)$ as well as the notion of fuzzy norm, where $\vt: Y_X\to [0, 1]\subseteq {\bf R}$, with $\bf R$ the set of all real numbers. A great many standard mappings on algebraic systems can be modeled on norms as shown in the examples and it is seen that $\mathrm{Ker}\vt =\{y|\vt(y)=0\}$ has many useful properties. Some are explored, especially in the discussion of fuzzy norms as they relate to the complements of subactions $N_X$ of $Y_X$.