Analytical Non-integrability of the Truncated Two Fixed Centres Problem in the Symmetric Case

The Problem of two fixed centres is an integrable Hamiltonian system. If one truncates the Taylor expansion of the potential of this problem (in the symmetric case) at any order 3, we prove that one obtains a system which does not admit any first integral, meromorphic and functionally independent of the energy and the angular momentum. The proof is mainly founded on the criterion of non-integrability for homogeneous potentials, derived by Yoshida from Ziglinʹs theorem. Then we use this result to prove that the Vinti Problem, truncated at any order 3, is analytically non-integrable. Le Problème des deux centres fixes est un système hamiltonien intégrable. Si lʹon tronque à un ordre arbitraire 3 le développement de Taylor du potentiel de ce problème (dans le cas symétrique), on montre que le système obtenu nʹadmet aucune intégrale première méromorphe et fonctionnellement indépendante de lʹénergie et du moment angulaire. La démonstration est principalement fondée sur le critère de non intégrabilité pour les potentiels homogènes, que Yoshida a déduit du théorème de Ziglin. Nous utilisons ensuite ce résultat pour établir que le Problème de Vinti, tronqué à un ordre arbitraire 3, est non intégrable analytiquement.