Algèbres de Jacobi et algèbres de Lie–Rinehart–Jacobi

We define the Jacobi 1-form and the Jacobi 2-form of a Jacobi algebra. We construct the Jacobi differential complex and describe Jacobi cohomology. We show that a Jacobi algebra determines a Lie–Rinehart–Jacobi algebra and that, conversely, a symplectic Lie–Rinehart–Jacobi algebra determines a Jacobi algebra structure on the base algebra. Résumé On définit la 1-forme de Jacobi et la 2-forme de Jacobi d’une algèbre de Jacobi. On contruit le complexe différentiel de Jacobi et on décrit la cohomologie de Jacobi d’une algèbre de Jacobi. On montre que la donnée d’une algèbre de Jacobi détermine une algèbre de Lie–Rinehart–Jacobi et que réciproquement la donnée d’une algèbre de Lie–Rinehart–Jacobi symplectique induit une structure d’algèbre de Jacobi sur l’algèbre de base.