حل المعادلات الديوفانتية y2=x3+Dx حيث D≡5(mod 8)

درسنا في هذا البحث المعادلات الديوفانتية من الشكل 𝑦2 = 𝑥3 + 𝐷𝑥 التي تشكل تشاكلات جبرية في الفضاء الاسقاطي و التي تمثل هندسياً اسرة من المنحنيات الاهليلجية في الحقل 𝑘 اضافة الى بناء ايزومورفيزم مسطح وغير متشعب بين اسرة هذه المنحنيات الاهليلجية و مجموعة جزئية من حلقة الاعداد الصحيحة و منه ايجاد توسيع اعظمي منتهي غير متشعب للحقل 𝑘 و تحديد عدد النقاط ذات الرتب المنتهية و الرتبة ∞ لهذه الاسرة و التي استطعنا من خلالها تحديد قيم 𝐷 التي تكون من اجلها رتبة المنحني الاهليلجي فوق الحقل 𝑘 تساوي 1 و بالتالي حل المعادلة الديوفانتية 𝑦2 = 𝑥3 + 𝐷𝑥 من اجل هذه القيم.