حل دقيق براي معادلات فركانسي ارتعاشات آزاد شعاعي و عرضي يك ورق دايره‌اي با شرايط مرزي مختلف

Exact solution for frequency equations of radial and transverse vibration of a circular plate with various boundary conditions

در اين تحقيق، معادله‌هاي فركانسي ارتعاشات آزاد شعاعي و عرضي يك ورق دايره‌اي با سه نوع تكيه گاه آزاد، ساده و گيردار به صورت حل دقيق بسته استخراج شده است. براي به دست آوردن معادلات حاكم بر ارتعاشات شعاعي و عرضي ورق دايره‌اي از اصل هميلتون استفاده شده است. در حالت ارتعاشات شعاعي، دو معادله ديفرانسيل وابسته به هم حاصل مي‌شود كه با استفاده از روش تجزيه هلمهولتز، آن دو معادله ديفرانسيل از يكديگر مستقل مي‌شوند و سپس با روش جداسازي متغيرها به صورت تحليلي قابل حل خواهند بود. در حالت ارتعاشات عرضي ورق دايره‌اي، معادلات حاكم نيز با استفاده از روش جداسازي متغيرها حل شده و يك رابطه دقيق بسته براي معادله فركانسي در هر شرط مرزي به دست مي‌آيد. در نهايت فركانس‌هاي طبيعي حاصل از معادله‌هاي فركانسي به دست آمده با نتايج المان محدود مقايسه گرديده است.

In this study, closed-form relations are obtained for the frequency equations of radial (in-plane) and transverse (out-of–plane) free vibration of a circular plate with free, simply-support, and clamped boundary conditions. Governing equations are obtained using Hamilton's principal. In the case of radial vibration, governing equations are coupled to each other. So, they are decoupled using Helmholtz decomposition technique and solved using separation of variables method. In the case of transverse vibration, governing equations are analytically solved using separation of variables method. Finally, natural frequencies obtained from the frequency equations are compared with finite element results for an isotropic homogeneous circular plate with various boundary conditions.