روش دوگان لاگرانژي براي مسأله كوتاهترين مسير با درنظرگرفتن طرح‌هاي عمراني همراه با محدوديت بودجه

The Lagrangian Relaxation Method for the Shortest Path Problem Considering Transportation Plans and Budgetary Constraint

در اين مقاله يك مساله كوتاه‌ترين مسير مقيد مورد بررسي قرار مي‌گيرد ‌كه در آن براي هر يك از يال‌هاي شبكه طرح‌هاي عمراني مختلف با هزينه اجراي مشخص و نيز ميزان كاهش مشخص براي زمان (طول) يال درنظر گرفته شده‌است. هدف مساله تعيين مسير بين يك زوج مبدأ و مقصد و انتخاب طرح‌هاي بهينه بر روي يال‌هاي اين مسير است، به گونه‌اي كه زمان تغيير يافته مسير، كم‌ترين مقدار ممكن بوده و هزينه اجرايي طرح‌هاي انتخابي از ميزان بودجه در دسترس تجاوز نكند. با استفاده از روش دوگان لاگرانژي دسته‌اي از محدوديت‌هاي مساله آزاد شده و مساله دوگان لاگرانژي به دو زير مساله كوچك‌تر‌ تبديل مي‌شود. سپس با استفاده از الگوريتم زيرگراديان يك جواب نزديك به بهينه براي مساله اوليه حاصل مي‌شود. در انتها با بررسي مدل پيشنهاد شده بر روي يك شبكه كوچك و نيز بر روي شبكه خراسان، جواب مساله براي زوج‌هاي مبدأ و مقصد مختلف و با درنظرگرفتن پارامترهاي متفاوت تعيين مي‌شود.

In this paper, a constrained shortest path problem (CSP) in a network is investigated, in which some special plans for each link with corresponding pre-determined costs as well as reduction values in the link travel time are considered. The purpose is to find a path and selecting the best plans on its links, to improve the travel time as most as possible, while the costs of conducting plans do not exceed the available budget. Using the Lagrangian relaxation approach, some constraints of the problem are relaxed and the Lagrangian dual problem is decomposed into two smaller sub-problems. Then, by applying the sub-gradient algorithm, a near optimal solution is determined for the original problem. Finally, by considering the proposed model on a small-sized network and on Khorasan state network, solutions for different origin-destination pairs with different parameters are determined.