ارائه فرمولاسيون اجزا محدود جهت تحليل رفتار ديناميكي ميكروروتورها بر اساس نظريه گراديان كرنش

Finite Element Analysis of Vibration Behavior of Micro-Rotors Utilizing a Developed Strain Gradient-Based Beam Element

در اين مقاله براي اولين بار فرمولاسيون اجزا محدود سه بعدي سامانه روتور، متشكل از ميكرو شافت دوار و ديسك‌هاي متصله براساس نظريه گراديان كرنشي به منظور بررسي رفتار ديناميكي يا مشخصات ارتعاشاتي اين سامانه ارائه شده است. مدل مذكور اين امكان را فراهم مي‌كند كه ضمن در نظر گرفتن اثرات ناشي از قرار داشتن هندسه سامانه در ابعاد ميكرو، تأثيرات مربوط به غيرصلب بودن ياتاقان‌ها، ميرايي داخلي و ناميزاني در ميكروروتور را مورد مطالعه قرار دهد. براي ارائه اين فرمولاسيون، در ابتدا روابط مربوط به انرژي كرنشي سامانه براساس نظريه گراديان كرنشي و انرژي جنبشي سامانه با وجود ناميزاني در ديسك حين حركت عرضي، همراه با جملات مربوط به اينرسي ناشي از دوران و گشتاور ژيرسكوپيك بيان گرديده‌اند. سپس با استفاده از اصل تعميم يافته هميلتون به منظور دستيابي به فرم ضعيف شده معادلات و تقريب متغيرهاي مربوط به مؤلفه‌هاي جابه‌جايي عرضي ميكروروتور با توابع شكل مناسب، معادلات حركت گسسته سازي شده‌اند و براي اولين بار ماتريس‌هاي جرم شافت و ديسك، اينرسي دوراني شافت و ديسك، ميرايي ياتاقان، ژيرسكوپيكي شافت و ديسك، سختي و نيز ماتريس چرخشي براساس نظريه گراديان كرنش براي سامانه روتور تعيين شده‌اند. به عنوان مثال‌هايي، مشخصات ارتعاشاتي سامانه ميكروروتوري و نيز پاسخ سامانه در برابر حضور ناميزاني در ديسك آن ارائه شده است. نتايج عددي ارائه شده بعد از صحه‌گذاري مدل پيشنهادي، بيانگر تأثير بارز ثابت مادي مرتبۀ بالابر مشخصات ارتعاشاتي ميكروروتور شامل بسامدهاي طبيعي، سرعت دوراني بحراني، سرعت دوراني در آستانه ناپايداري سامانه و همچنين پاسخ سامانه در اثر حضور ناميزاني جرمي در ديسك مي‌باشد.

In this paper, a three-dimensional finite element model is developed based on the strain gradient theory to investigate the vibration characteristics of micro-rotors. The model is not only capable of dealing with small-size effects, but also the flexibility of bearings, internal damping and mass eccentricity in the system. The expressions related to the strain energy of the shaft of the microrotor are derived on the basis of strain gradient theory together with the kinetic energy of the system considering mass eccentricity in the disk and rotary inertia and gyroscopic effects of the rotating shaftdisk system. By using the extended Hamilton’s principle to obtain weak forms of governing equations and approximating displacement components by special interpolation functions which can be used to model a strain gradient based micro-beam, equations of the motion are discretized into a finite element form. The natural frequencies, critical speeds and the threshold of instability rotational speed of the micro-rotor are obtained by transforming discretized equations of motion into state space form. The response of the micro rotor under excitation of the mass eccentricity of the disk in forced vibrations is also presented. Numerical results show profound effects of higher order material constant on vibration characteristics of the micro-rotor.