گرافهايي كه داراي تعداد كمي مقدار ويژه مثبت هستند

Graphs with few positive eigenvalues

فرض كنيد G گرافي ساده با رئوس v_1,..., v_n است. منظور از ماتريس اتصال G كه آنرا با A(G) نشان مي دهيم ماتريسي است n×n بطوريكه درايه (i,j) آن را 1 قرار مي دهيم اگر v_i به v_j وصل باشد, در غير اينصورت قرار مي دهيم 0. منظور از مقادير ويژه G يعني مقادير ويژه A(G). فرض كنيد λ_1 (G)≥λ_2 (G)≥⋯≥λ_n (G) مقادير ويژه G هستند. در اين مقاله نتايجي را در مورد گرافهايي كه داراي حداكثر سه مقدار ويژه نامنفي هستند, بدست مي آوريم. بويژه دو رده زير از گرافها را مورد مطالعه قرار مي دهيم: 1) گرافهايي مانند G بطوريكه λ_1 (G)>0 , λ_2 (G)>0 , λ_3 (G)=0 و λ_4 (G)0 , λ_2 (G)>0 , λ_3 (G)>0 و λ_4 (G).

Let G be a simple graph with vertices v_1,..., v_n. The adjacency matrix of G denoted by A(G) is an n×n matrix whose the entry (i,j) is 1 if v_i and v_j are adjacent and is zero otherwise. By the eigenvalues of G we mean the eigenvalues of A(G). Let λ_1 (G)≥λ_2 (G)≥⋯≥λ_n (G) be the eigenvalues of G. In this paper we obtain some results related to graphs with at most three non-negative eigenvalues. We obtain all non-connected graphs with this property. In addition, we find some families of connected graphs with this property. In particular we study two following families of graphs: 1. Graphs such as G with exactly two positive eigenvalues and one zero eigenvalues. In other words graphs such as G with λ_1 (G)>0 , λ_2 (G)>0 , λ_3 (G)=0 and λ_4 (G)0 , λ_2 (G)>0 , λ_3 (G)>0 and λ_4 (G).