لم بلاباس: تحليل، كاربرد و الگوريتم

بسياري از قضايا‌يي كه در دهه‌هاي ۶۰ و ۷۰ ميلادي در تركيبيات و نظريه‌ي گراف توسط پژوهشگران توسعه داده شده‌اند، امروزه در طراحي الگوريتم‌ها و حل مسائل جديد همچنان كاربرد دارد. هدف اين مقاله اين است كه نشان دهيم چيزهاي مفيدي در گذشته رخ داده است كه نبايد آنها را فراموش كنيم و بايد با نگاهي خلاقانه از آنها استفاده كنيم. لم بلاباس، كه در دهه 1970 مطرح شد يك مسئله معروف در حوزه تركيبيات است. در اين مسئله، يك خانواده از مجموعه‌هاي A_1, A_2,\ldots,A_m هر كدام با اندازه a و خانواده‌اي ديگر از ‌مجموعه‌ها B_1, B_2,\ldots,B_m هر كدام با اندازه b داريم. هدف يافتن بيشترين مقدار m از تعداد مجموعه‌ها است به‌طوري‌كه براي هر انديس i داشته باشيم A_i\cap B_i = \emptyset و همچنين A_i\cap B_j \neq \emptyset، براي هر i \neq j. لم بلاباس كران بالايي براي حداكثر تعداد اين مجموعه‌ها به‌صورت m\leq \binom{a+b}{b} بيان مي‌كند. در اين مقاله، پس از بيان حالات لم و اثبات موجود براي اين لم، اثبات ديگري بر پايه احتمال براي لم بلاباس ارائه مي‌دهيم و سپس با نگاهي متفاوت به اين مسئله تركيبياتي، به بررسي كاربردهاي جالب اين لم در مسائل نظريه گراف و الگوريتم‌هاي پارامتري مي‌پردازيم.