Numerical solution of two-dimensional nonlinear Volterra integral equations by the Legendre polynomials

حل عددي معادلات انتگرال ولتراي غيرخطي دو بعدي با استفاده از چندجمله‌اي‌هاي لژاندر

هدف اصلي در اين مقاله ارايه جوابي تقريبي براي معادلات انتگرال ولتراي غيرخطي دو بعدي با استفاده از چندجمله‌اي‌هاي متعامد لژاندر است. ابتدا، چندجمله‌اي‌هاي متعامد لژاندر انتقال يافته دوبعدي، تعريف و خواص آن‌ها ارايه مي‌شوند. سپس به معرفي ماتريس‌هاي عملياتي انتگرال و حاصل ضرب مي‌پردازيم. اين خواص به‌همراه گره‌هاي گاوس-لژاندر، معادله انتگرال مورد نظر را به جواب دستگاهي از معادلات جبري غيرخطي تبديل مي‌كنند. هم‌چنين، آناليز خطاي روش ارايه مي‌شود. در آخر، با مثال‌هايي، كارايي روش بررسي مي‌شود.

The main purpose of this article is to present an approximate solution for the two-dimensional nonlinear Volterra integral equations using Legendre orthogonal polynomials. First, the two-dimensional shifted Legendre orthogonal polynomials are defined and the properties of these polynomials are presented. The operational matrix of integration and the product operational matrix are introduced. These properties together with the Gauss-Legendre nodes are then utilized to transform the given integral equation to the solution of nonlinear algebraic equations. Also, an estimation of the error is presented. Illustrative examples are included to demonstrate the validity and applicability of the new technique.