زير مشتقات جزئي ‌مرتبه دوم توابع ∂- تقريباً - منظم

Partial Second-Order Subdifferentials of a-Prox Regular Functions

با اينكه توابع تقريباً - منظم در حالت كلي محدب نيستند، ولي خصوصياتي را دارا هستند كه انتظار مي‌رود در توابع محدب و يا C2- پاييني يافت شود. كلاس توابع تقريباً - منظم، شامل توابع محدب، C2- پاييني، قويا متمايل و... است. اين توابع در ابتدا روي فضاهاي با بعد متناهي و با استفاده از زيرمشتق تقريبي تعريف شدند و سپس تعريف اين توابع به روي فضاهاي باناخ و هيلبرت گسترش داده شد. در اين مقاله، توابع تقريباً - منظم پارامتري با استفاده از زيرمشتق حدي تعريف مي‌‌شوند. همچنين به تعريف زيرمشقات جزئي مرتبه دوم توابع دو متغيره نسبت به متغييرهايشان با استفاده از هم‌مشتق نگاشت زيرمشتق مرتبه اول مي‌پردازيم. سپس ارتباط بين يكنوايي ماكسيمال زيرمشتقات جزئي مرتبه اول اين توابع با نيم‌معين مثبت بودن نگاشت هم‌مشتق زيرمشتق جزئي مرتبه اول بررسي مي‌شود. سرانجام شرايط لازم و كافي براي محدب بودن توابع ∂- تقريباً - منظم برحسب نيم‌معين مثبت بودن نگاشت زيرمشتقات جزئي مرتبه دوم ارائه مي‌دهيم.

Although prox-regular functions in general are nonconvex, they possess properties that one would expect to find in convex or lower-C' functions. The class of proxregular functions covers all convex functions, lower-C2 functions and strongly amenable functions. At first, these functions have been identified in finite dimension using proximal subdifferential. Then, the definition of prox-regular functions have been developed in Banach and Hilbert spaces. In this paper, the parametric proxregular functions are defined using limiting subdifferentials. Also, a partial secondorder subdifferential is defined here for extended real valued functions of two variables corresponding to its variables through coderivatives of first-order partial subdifferential mappings. Then, relations between maximal monotonicity of the partial first-order subdifferentials of these functions and the positivesemidefiniteness of the coderivatives of partial first order subdifferential mapping are investigated. Finally, we present necessary and sufficient conditions for 0 -proxregular functions to be convex based on positive-semidefiniteness of the partial second-order subdifferentials mappings.