چند نامساوي ميانگين هندسي وزن دار عملگري

Some weighted operator geometric mean inequalities

در اين مقاله، با استفاده از نامساوي توسعه يافته هولدر- مك كارتي، چندين نامساوي در زمينه ميانگين هندسي α-وزن دار (0<α<1) دو عملگر مثبت بيان شده است. به ويژه ثابت شده است كه اگر A،B،X،Y∈B(H) به طوري كه A و B دو عملگر مثبت معكوس پذير باشند، آنگاه به ازاي هر r ≥1 ‖X^* (A⋕_α B)Y‖^r≤‖〖(X〗^* AX)^r ‖^((1-α)/2) ‖〖(Y〗^* AY)^r ‖^((1-α)/2) ‖〖(X〗^* BX)^r ‖^(α/2) ‖〖(Y〗^* BY)^r ‖^(α/2) و ‖X^* (A⋕_α B)X‖^r≤‖α(X^* BX)^r+(1-α)(X^* AX)^r ‖^ -Ω(X) كه در آن Ω(X)=inf┬(‖x‖=1)⁡〖〖(√(<(X^* BX)^r x،x>^ )-√(<(X^* AX)^r x،x>^ ))〗^2 〗.min⁡{α^ ،(1-α)^ }.

In this paper، using the extended Holder- -McCarthy inequality، several inequalities involving the α-weighted geometric mean (0<α<1) of two positive operators are established. In particular، it is proved that if A،B،X،Y∈B(H) such that A and B are two positive invertible operators، then for all r ≥1، ‖X^* (A⋕_α B)Y‖^r≤‖〖(X〗^* AX)^r ‖^((1-α)/2) ‖〖(Y〗^* AY)^r ‖^((1-α)/2) ‖〖(X〗^* BX)^r ‖^(α/2) ‖〖(Y〗^* BY)^r ‖^(α/2)، and ‖X^* (A⋕_α B)X‖^r≤‖α(X^* BX)^r+(1-α)(X^* AX)^r ‖^ -Ω(X) where Ω(X)=inf┬(‖x‖=1)⁡〖〖(√(<(X^* BX)^r x،x>^ )-√(<(X^* AX)^r x،x>^ ))〗^2 〗.min⁡{α^ ،(1-α)^ }.