Oscillations and Concentration Effects in Semilinear Dispersive Wave Equations

Let (un) be a sequence of smooth solutions to a dispersive nonlinear wave equation,[formula]inR1+3, with uniformly compactly supported Cauchy data converging weakly to 0 inH1(R3)×L2(R3). Let (vn) be the sequence of solutions to the linear wave equation with the same Cauchy data. We show thatun−vngoes strongly to 0 in the energy spaceC([0, T], H1)∩C1([0, T], L2) if f is a subcritical nonlinearity. In the critical casef(u)=u5, we show that this property is equivalent tovn→0 inL∞([0, T], L6). Then we give sharp sufficient conditions on microlocal measures associated to the data. The proof relies on a microlocal version of P.-L. Lionsʹ concentration-compacity. un) une suite de solutions régulières dʹune équation dʹondes non linéaire dispersive,[formula]dansR1+3, avec données de Cauchy supportées dans un compact fixe et convergeant faiblement vers 0 dansH1(R3)×L2(R3). Soit (vn) la suite des solutions de lʹéquation des ondes linéare avec les mêmes données de Cauchy. On montre queun−vnconverge fortement vers 0 dans lʹespace dʹénergieC([0, T], H1)∩C1([0, T], L2) sifest une non-linéarité sous-critique. Dans le cas critiquef(u)=u5, on montre que cette propriété équivaut à la convergence forte devnvers 0 dansL∞([0, T], L6). On en donne alors des conditions suffisantes optimales en termes de mesures microlocales associées aux données. La démonstration est basée sur une version microlocale de la concentration-compacité de P.-L. Lions.