FactoringN-Cycles and Counting Maps of Given Genus

We present an explicit expression for the number of decompositions of ann-cycle as a product of any two permutations of cycle types given by partitions λ and μ. The same expression is also counting the number of unicellular rooted bicolored maps on an orientable surface of genusgwith vertex degree distribution given by λ and μ. The relation between the genus and the partitions λ and μ is given by ℓ(λ) + ℓ(μ) = n+ 1 − 2gwhere ℓ(λ) is the number of parts of λ. We use character theory and the group algebra of the symmetric group to develop our expression. The key argument is the construction of a bijection involving the character formula at one end and our final expression at the other end. résentons une formule qui donne le nombre de décompositions dʹunn-cycle en produit de deux permutations dont les types cycliques, respectivement λ et μ, sont quelconques. La même expression dénombre également les cartesà une face, bicolorées et enracinées sur une surface orientable de genregdont les sommets appartenant à chaque couleur ont pour distribution de degrés les partages λ et μ. La relation unissant le genre aux partitions λ et μ est ℓ(λ) + ℓ(μ) = n+ 1 − 2goùℓ(λ) est le nombre de parts de λ. Nos arguments sont développés dans le contexte de la théorie des caractères et du centre de lʹalgèbre de groupe du groupe symétrique. Lʹessentiel de notre argumentation consiste en la construction dʹune bijection reliant dʹune part, la formule des caractères et dʹautre part, notre nouvelle expression.