Relations dʹorthogonalité de Schur “généralisées” pour les espaces symétriques réductifs

Résumé ntroduisons une semi-norme sur un espace de fonctions C∞ sur un espace symétrique réductif G/H. Nous montrons que les fonctions C∞, K-finies, propres sous lʹaction de lʹalgèbre des opérateurs différentiels G-invariants, et pour lesquelles cette semi-norme est finie, de même que pour ses dérivées par les éléments de lʹalgèbre enveloppante de lʹalgèbre de Lie de G, sont tempérées. Réciproquement, on explicite cette semi-norme pour les fonctions tempérées K-finies qui sont propres pour un caractère régulier de lʹalgèbre des opérateurs différentiels G-invariants. Lʹapplication de ces résultats aux intégrales dʹEisenstein permet dʹétablir des relations dʹorthogonalité de Schur généralisées. Notre travail généralise et précise des résultats de H. Midorikawa (1988, Adv. Stud. Pure Math.14, 257–287) pour les groupes. Copyright 2001 Academic Press. roduce a seminorm on a space of C∞ functions on a reductive symmetric space G/H. We show that the C∞K-finite eigenfunctions of the algebra of all G-invariant differential operators on G/H for which this semi-norm is finite, as well as for their derivatives from the left, are tempered. Reciprocally, we make explicit this seminorm for the K-finite tempered eigenfunctions with a regular character. Applying those result to Eisenstein integrals, we obtain general Schur orthogonality relations. Our work generalizes and specifies the results of H. Midorikawa (1988, Adv. Stud. Pure Math.14, 257–287) in the group case.