DISTANCE ENTRE ةlةMENTS DʹUN SEMI-GROUPE DANS UNE ALGةBRE DE BANACH

Soit (at)t>0 un semi-groupe dans une algèbre de Banach, et soit n un entier positif. On montre que si lim supn→+∞ ∥at−at(n+1)∥<n(n+1)1+1/n, alors ou bien at=0 pour t>0, ou bien la sous-algèbre A engendrée par le semi-groupe (at)t>0 est unitaire, et il existe u∈A tel que at=etu pour t>0. Un exemple très simple montre que la constante n(n+1)1+1+1/n est optimale. t)t>0 be a semigroup in a Banach algebra, and let n be a positive integer. We show that if lim supn→+∞ ∥at−at(n+1)∥<n(n+1)1+1+1/n then either at=0 for t>0, or the closed subalgebra A generated by the semigroup (at)t>0 is unital, and there exists u∈A such that at=etu for t>0. A simple example shows that the constant n(n+1)1+1+1/n is best possible.