A Diffusion Equation with Exponential Nonlinearity Recant Developments

هدف اين مقاله بررسي جزييات معادله ديفرانسيل جزيي غير خطي خاصي از مرتبه دوم مي باشد، كه داراي كاربردهاي فني، شيميايي وفيزيكي مهمي مي باشد. معادله ديفرانسيل جزيي غير خطي حاضر انتشار غيرخطي را توصيف مي كند، كه در قسمت هاي زيادي از مسايل شيمي، فيزيك ومهندسي مورد توجه است. به دليل اين كه طبيعت غير خطي است ، في نفسه حالت غيرخطي عمومي است. در اينجا تقارن هاي نقطه لي كلاسيك را كه داراي خواص جبري است تعريف مي كنيم. جواب هاي مشابه به خوبي جواب هايي كه در تبديلات غير خطي مي توانستند به دست آيند، گرفته مي شود. به علاوه حالت غير كلاسيك را كه به نظر مي رسد غير حل پذير باشد، بررسي مي كنيم و نشان مي دهيم كه چگونه مي تواند مدل سازي قسمت غيرخطي تقارن هاي تقريبي از ان استنباط شود. ما در طي اين فرايند تقارن هاي تعميم يافته جديدي را از تقارن پاييني نتيجه مي گيريم. بررسي ها اين اجازه را به ما مي دهد تا دسته گسترده تري از جواب ها را با استفاده نظري از دامنه هاي مختلفي از علوم و مهندسي، نتيجه بگيريم.

The purpose of this paper is to analyze in detail a special nonlinear partial differential equation (nPDE) of the second order which is important in physical, chemical and technical applications. The present nPDE describes nonlinear diffusion and is of interest in several parts of physics, chemistry and engineering problems alike. Since nature is not linear intrinsically the nonlinear case is therefore the general. We determine the classical Lie point symmetries including algebraic properties whereas similarity solutions are given as well as nonlinear transformations could derived. In addition, we discuss the nonclassical case which seems to be not solvable. Moreover we show how one can deduce approximate symmetries modeling the nonlinear part and we deduce new generalized symmetries of lower symmetry. The analysis allows one to deduce wider classes of solutions either of practical and theoretical usage in different domains of science and engineering.