Autoconvolution equations and generalized Mittag-Leffler ‎functions

اين مقاله به مطالعه معادلات خود پيچش و توابع ميتگ-لفلر تعميم يافته اختصاص داده شده است. اين نوع معادلات شامل جملاتي از تبديل لاپلاس پيچش يك تابع با خودش است. ما در اين مقاله كلاس هاي جديدي از معادلات خود پيچش نوع اول را بيان مي كنيم و نشان مي دهيم كه جواب هاي اين نوع معادلات توابع ميتگ-لفلر تعميم يافته هستند. با توجه به تبديل لاپلاس معكوس، از قضيه سوخوتن واندرپل استفاده مي كنيم تا يك معادله خود پيچش را براي توابع ميتگ-لفلر تعميم يافته شامل جملاتي از تبديلات لاپلاس و ملين تشكيل دهيم. هم چنين در حالت هاي خاص، جواب هايي از معادلات خود پيچش معرفي شده مربوط به توابع µ- ولترا را نتيجه مي گيريم. به علاوه چندين معادله خود پيچش جديد را با اعمال تبديل لاپلاس از توابع ميتگ-لفلر تعميم يافته بيان مي كنيم. سرانجام به عنوان يك كاربرد از معادلات خود پيچش در سيستم هاي ترموديناميكي، از تبديل لاپلاس براي حل كردن معادله بولتزمان استفاده مي كنيم و جواب اين معادله را درجملاتي از توابع ميتگ-لفلر تعميم يافته به دست مي آوريم.

This article is devoted to study of the autoconvolution equations and generalized Mittag-Leffler functions. These types of equations are given in terms of the Laplace transform convolution of a function with itself. We state new classes of the autoconvolution equations of the first kind and show that the generalized Mittag-Leffler functions are solutions of these types of equations. In view of the inverse Laplace transform, we use the Schouten-Vanderpol theorem to establish an autoconvolution equation for the generalized Mittag-Leffler functions in terms of the Laplace and Mellin transforms. Also, in special cases we reduce the solutions of the introduced autoconvolution equations with respect to the Volterra $\mu$-functions. Moreover, more new autoconvolution equations are shown using the Laplace transforms of generalized Mittag-Leffler functions. Finally, as an application of the autoconvolution equations in thermodynamic systems, we apply the Laplace transform for solving the Boltzmann equation and show its solution in terms of generalized Mittag-Leffler ‎functions.‎