Theory of block-pulse functions in numerical solution of Fredholm integral equations of the second kind

اخيراً، توابع بلوك-پالس براي حل مساله پراكندگي الكترومغناطيسي )مدلبندي شده با معادله انتگرال فردھلم نوع دوم( بكار رفته است. چون جنبه نظري اين مساله به طور كامل بررسي نشده است، در اين مقاله علاوه بر ارايه يك روش عددي جديد براي حل عددي معادلات فردھلم نوع دوم مبتني بر بلوك-پالسھا، جنبه نظري اين روش به طور دقيق مورد بررسي قرار ميگيرد. با ارايه روش جديد جوابھاي كمترين مربعات و ناكمترين مربعات براي معادلات فردھلم نوع دوم مبتني بر بلوك- پالسھا تعريف خواھد شد. ابتدا ھمگرايي روش ناكمترين مربعات به كمك روش نيشروم بررسي شده سپس با فرض اينكه مجموعه تمام ماتريسھاي معكوس پذير مجموعه بازي ھستند، ھمگرايي جواب كمترين مربعات مورد بررسي قرار ميگيرد. بايد توجه داشت كه ھمگرايي روش نيشروم نقش اساسي در اثبات ھمگراييھاي ارايه شده دارد. چون ھمگرايي ارايه شده در اين مقاله از متعامد بودن پايهھا مستقل است لذا روش ارايه شده ميتواند براي بسياري از روشھاي عددي تعميم داده شود

Recently, the block-pulse functions (BPFs) are used in solving electromagnetic scattering problem, which are modeled as linear Fredholm integral equations (FIEs) of the second kind. But the theoretical aspect of this method has not fully investigated yet. In this article, in addition to presenting a new approach for solving FIE of the second kind, the theory of both methods is investigated as a main part. By providing a new method based on BPFs for solving FIEs of the second kind, the least squares and non-least squares solutions are defined for this problem. First, the convergence of the non-least squares solution is proved by the Nystr¨ om method. Then, considering the fact that the set of all invertible matrices is an open set, the convergence of the least squares solution is investigated. The convergence of Nystr¨ om method has the main role in proving the basic results. Because the presented convergence trend is independent of the orthogonality of the basis functions, the given method can be applied for any arbitrary method.