New characterization of some linear groups

تعدادگروھھايي كه فقط از طريق مرتبه ھايشان تشخيص پذير باشند خيلي كم است مثلا Z2و Z15از اين دست گروھھا مي باشند، اما گروھھاي متناھي زيادي وجود دارند كه با استفاده از مرتبه و داده ھاي ديگري تشخيص پذيرند. به عنوان مثال با استفاده از داده ھاي مثل مجموعه مرتبه ھاي عناصر گروه، تعداد سيلو - pزيرگروھھاي گروه براي ھر عدد اول، pمرتبه مولفه ھاي گروه و …. در اين مقاله مي خواھيم به امكان تشخيص پذيري گروھھاي خاص تصويري L ( ) n 2كه در آن n 2 1 ?عددي اول است بپردازيم. براساس نتايج بدست آمده در اين مقاله گروه Gبا گروه L ( ) n 2يكريخت است اگر و فقط اگر مرتبه دو گروه با ھم برابر باشند و دوگروه داراي يك كلاس تزويج به طول n n | L ( ) | 2? 2 1داشته باشند. ھمچنين در اين مقاله نشان خواھيم داد كه حدس تامپسون ھم براي گروھھاي L ( ) n 2كه در آن 2 1 n ?عددي اول باشد نيز برقرار است. بر اساس حدس تامپسون اگر Lيك گروه ساده غير آبلي و Gيك گروه با مركز بديھي باشد به طوري مجموعه كلاسھاي تزويج دو گروه با ھم برابر باشند آنگاه دو گروه باھم يكريخت ھستند

There are a few finite groups that are determined up to isomorphism solely by their order, such as Z2 or Z15. Still other finite groups are determined by their order together with other data, such as the number of elements of each order, the structure of the prime graph, the number of order components, the number of Sylow p-subgroups for each prime p, etc. In this paper, we investigate the possibility of characterizing the projective special linear groups Ln(2) by simple conditions when 2n ? 1 is a prime number. Our result states that: G ? = Ln(2) if and only if |G|= |Ln(2)| and G has one conjugacy class length |L 2n n? (2) 1|, where 2n ? 1 = p is a prime number. Furthermore, we will show that Thompson’s conjecture holds for the simple groups Ln(2), where 2n ? 1 prime is a prime number. By Thompson’s conjecture if L is a finite non-Abelian simple group, G is a finite group with a trivial center, and the set of the conjugacy classes size of L is equal to G, then L ? = G.