On the harmonic index and harmonic polynomial of Caterpillars with diameter four

شاخص هارمونيك H(G) از گراف G به صورت مجموع وزن هاي روي همه يال هاي uv?E(G) تغيير مي كند كه deg(u) درجه راس u از V(G) است. در اين مقاله چند جمله اي هارمونيك G را به صورت تعريف مي كنيم، كه رابطه برقرار مي باشد. همچنين فرمول صريحي براي مقادير چندجمله اي هارمونيك براي دسته هايي از گراف هاي خاص ارايه مي دهيم. علاوه براين كران بالا وپاييني براي كاترپيلار هاي با قطر چهار مي يابيم.

The harmonic index ) (G H , of a graph G is defined as the sum of weights 1 )) deg( ) (deg( 2 ? ? v u of all edges in ) (G E , where deg (u) denotes the degree of a vertex u in V(G). In this paper we define the harmonic polynomial of G as ? ? ? ? ? ) ( 1 ) deg( ) deg( 2 ) , ( G E uv v u x x G H , where ? ? 1 0 ) ( ) , ( G H dx x G H . We present explicit formula for the values of harmonic polynomial for several families of specific graphs and we find the lower and upper bound for harmonic index in Caterpillars of diameter 4.