Numerical Solution of Fractional Control System by Haar-wavelet Operational Matrix ‎Method

در سال هاي اخير تلاشهاي فراواني جهت حل عددي معادلات ديفرانسيل با مشتق از مرتبه كسري به كمك موجك ها شده است. روش پيشرو بر اساس صورت برداري موجك هار مي باشد. در اين مقاله موجك هار يك متغييره و ماتريس عملگر موجك هار براي انتگرال از مرتبه كسري بيان مي شود. همچنين ماتريس عملگر موجك هار براي مشتق از مرتبه كسري بدست خواهد آمد. در ادامه ما از اين ماتريس ها براي تحليل جواب خروجي يك سيستم خطي از مرتبه مشتق كسري( بنا به تعريف كپوچو) استفاده خواهيم كرد. همچنين با استفاده از نقاط گره اي، يك معادله سيلوستر خواهيم داشت كه مي تواند با روشي نظير حل شود. همچنين خطاي روش نيز تحليل خواهد شد . روش ياد شده با يك مثال امتحان مي شود. از آنجايي كه بيان كردن يك تابع برداري با موجك هار دقيق خواهد بود و چون محاسبات آن در كامپيوتر زماني كمي مي گيرد ، استفاده از اين روش ها فراگير شده است.

In recent years, there has been greater attempt to find numerical solutions of differential equations using waveletʹs methods. The following method is based on vector forms of Haar-wavelet functions. In this paper, we will introduce one dimensional Haar-wavelet functions and the Haar-wavelet operational matrices of the fractional order integration. Also the Haar-wavelet operational matrices of the fractional order differentiation are obtained. Then we propose the Haar-wavelet operational matrix method to achieve the Haar-wavelet time response output solution of fractional order linear systems where a fractional derivative is defined in the Caputo sense. Using collocation points, we have a Sylvester equation which can be solve by Block Krylov subspace methods. So we have analyzed the errors. The method has been tested by a numerical example. Since wavelet representations of a vector function can be more accurate and take less computer time, they are often more ‎useful