Numerical Solution of Optimal Heating of Temperature Field in Uncertain Environment Modelled by the use of Boundary Control

در مقاله حاضر مسيله گرمادهي بهينه يك ميدان دمايي در يك محيط تصادفي با استفاده از كنترل بهينه مرزي فرمول‌بندي شده و به صورت عددي حل شده است. در مدل‌سازي فيزيكي از معادلات با مشتقات جزيي با پارامترهاي تصادفي به عنوان قيد استفاده شده است. كنترل‌ها به صورت شرايط ديريكله به معادله اعمال شده اند كه مدل المنت‌هاي گرمايي روي مرز ميدان هستند و به صورت توابع تصادفي در نظر گرفته شده‌اند. در گسسته‌سازي عددي ورودي و پارامتر تصادفي با استفاده از توسيع كارهونن-لويو بسط داده شده و به مسيله اعمال شده‌اند. براي گسسته‌سازي عددي از روش گالركين تصادفي و با استفاده از چندجمله‌اي‌هاي آشوب تعميم‌يافته استفاده شده است. بهينه‌سازي عددي با استفاده از روش گراديان انجام شده است. مسيله به صورت كامل پياده‌سازي شده و براي نشان دادن كارايي روش، مثال‌ها و نتايج عددي ارايه و با استفاده از نمودارها نمايش داده شده‌اند.

‎In the present paper‎, ‎optimal heating of temperature field which is modelled as a boundary optimal control problem‎, ‎is investigated in the uncertain environments and then it is solved numerically‎. ‎In physical modelling‎, ‎a partial differential equation with stochastic input and stochastic parameter are applied as the constraint of the optimal control problem‎. ‎Controls are implemented as Dirichlet boundary conditions and representing the heating elements on the boundary of the field‎. ‎In numerical quantification‎, ‎stochastic input and parameter are approximated via Karhunen-Lo\ʹeve expansion and inserted to the problem‎. ‎In fact‎, ‎for numerical discretization of the problem stochastic Galerkin method is applied to generalize polynomial chaos‎. ‎Numerical optimization is performed via gradient method‎. ‎The problem is fully implemented and in order to show the applicability of the method‎, ‎numerical examples are solved and numerical results are represented through figures.