Équivalence rationnelle dʹalgèbres polynomiales classiques et quantiques

Cet article est consacré à lʹétude de lʹéquivalence rationnelle des algèbres non commutatives de polynômes dans un cadre englobant à la fois le problème classique de Gelfand–Kirillov et son analogue quantique. On introduit dans ce contexte mixte une classe dʹalgèbres de référence et on définit deux nouveaux invariants permettant de séparer les corps de fractions de ces algèbres à isomorphisme près. Lʹun est lié à la notion de sous-tore quantique maximal simple, lʹautre est un invariant dimensionnel mesurant via certains plongements le caractère classique, en terme dʹalgèbre de Weyl, des corps considérés. A titre dʹapplication on en déduit des résultats concernant lʹéquivalence rationnelle des algèbres de Weyl quantiques multiparamétrées. Abstract This article is devoted to rational equivalence for non-commutative polynomial algebras in a context including both the classical Gelfand–Kirillov problem and its quantum version. We introduce in this “mixed” context some reference algebras and define two new invariants allowing us to separate the fraction fields of these algebras up to isomorphism. The first one is linked to the notion of maximal simple quantum sub-torus, and the second one is a dimensional invariant measuring the classical character (in terms of Weyl algebras) of the skew-fields into consideration. As an application we obtain results concerning the rational equivalence of multiparametrized quantum Weyl algebras.