Scindements de foncteurs composés

A case of natural decomposition of plethysm is studied. We work within the category of functors between vector spaces over a prime field . The symmetric power Sn○B of a functor B is shown to split when B takes p-boolean algebras values—these are algebras whose product satisfies xp=x. The injective envelope of the identity functor takes such values. This is applied to functor cohomology computations, which are relevant to the study of the cohomology of Eilenberg–Mac Lane spaces. Résumé Cet article étudie un cas de décomposition naturelle de pléthysme. On travaille dans la catégorie des foncteurs entre espaces vectoriels sur un corps premier . Une décomposition de la nième puissance symétrique Sn○B est établie pour tout foncteur B prenant ses valeurs dans les algèbres p-booléennes, cʹest-à-dire dans les algèbres dont le produit vérifie : xp=x. Lʹenveloppe injective du foncteur identité est un exemple dʹun tel foncteur B. On applique ce résultat à des calculs de cohomologie des foncteurs qui apparaissent dans lʹétude de la cohomologie des espaces dʹEilenberg–Mac Lane.