Modules projectifs de type fini, applications linéaires croisées et inverses généralisés

Résumé Dʹune part, nous développons la théorie générale des inverses généralisés de matrices en la mettant en rapport avec la théorie constructive des modules projectifs de type fini. Dʹautre part nous précisons certains aspects de cette théorie liés au calcul formel et à lʹanalyse numérique matricielle. Nous démontrons en particulier quʹon peut tester si un A-module de présentation finie est projectif et calculer une matrice de projection correspondante « en temps polynomial ». Plus précisément pour une matrice A Am×n on peut décider sʹil existe un inverse généralisé B pour A (cʹest-à-dire une matrice B vérifiant ABA=A et BAB=B) et, en cas de réponse positive, calculer un tel inverse généralisé par un algorithme qui utilise opérations arithmétiques (avec p=inf(m,n), q=sup(m,n)) et un nombre polynomial de tests dʹappartenance dʹun élément à un idéal engendré par « un petit nombre dʹéléments ».