Famille admissible de valuations et défaut dʹune extension

A toute valuation ou pseudo-valuation μ de lʹanneau des polynômes K[x] prolongeant une valuation ν de K donnée, nous savons associer une famille de valuations de K[x], appelée famille admissible, construite de façon explicite à partir de valuations augmentées et de valuations augmentées limites. Nous définissons le saut total dʹune famille admissible, cʹest un nombre rationnel que nous calculons à partir des degrés des polynômes-clés et polynômes-clés limites définissant les valuations de la famille . Dans le cas où L est une extension monogène finie de K, L=K(θ), pour toute valuation μ de L prolongeant ν, nous relions le saut de la famille admissible associée à μ à lʹindice de ramification e(μ/ν) et au degré résiduel f(μ/ν). Plus précisément nous avons lʹégalité : En particulier si μ est lʹunique prolongement de ν à L, le saut total de la famille permet de calculer le défaut de lʹextension (L,μ)/(K,ν).