Note sur la détermination algébrique du groupe fondamental pro-résoluble dʹune courbe affine

Résumé Soit X une courbe projective et lisse de genre g privée de r 1 points sur un corps algébriquement clos k de caractéristique p 0. La structure du plus grand quotient dʹordre premier à p du groupe fondamental étale de X est bien connu par des méthodes transcendantes : il est isomorphe au plus grand quotient dʹordre premier à p dʹun groupe pro-fini libre à 2g+r−1 générateurs. On montre que lʹon peut retrouver ce résultat par des méthodes purement algébriques pour le plus grand quotient pro-résoluble de ces groupes. Abstract Let X be a smooth projective algebraic curve of genus g minus r 1 points defined over an algebraically closed field k of characteristic p 0. The structure of the largest prime to p quotient of the étale fundamental group is well known by transcendental methods: it is isomorphic to the largest prime to p quotient of a free pro-finite group on 2g+r−1 generators. We show that, with purely algebraic means, we can prove the corresponding result for the largest pro-solvable quotient of these groups.