Abstract :
We study stability of an equilibrium f∗ of autonomous dynamical systems under asymptotically small perturbations of the equation. We show that such stability takes place if the domain of attraction of the equilibrium f∗ contains a one-parametric ordered family F∗. In the stability analysis we need a special S-relation (a kind of “restricted partial ordering”) to be preserved relative to the family F∗. This S-relation is inherited from the Sturmian zero set properties for linear parabolic equations. As main applications, we prove stability of the self-similar blow-up behaviour for the porous medium equation, the p-Laplacian equation and the dual porous medium equation in R with nonlinear lower-order perturbations. For such one-dimensional parabolic equations the S-relation is Sturmʹs Theorem on the nonincrease of the number of intersections between the solutions and particular solutions with initial data in F∗. This Sturmian property plays a key role and is true for the unperturbed PME, but is not true for perturbed equations.
Résumé
Non étudions la stabilité dʹun équilibre autonome f∗ de systèmes dynamiques, sous des perturbations asymptotiquement petites de l’équation. Nous prouvons que cette stabilité apparaı̂t si le domaine dʹattraction de l’équilibre f∗ contient une famille à un paramètre ordonnée, F∗. Dans lʹanalyse de la stabilité, nous avons besoin quʹune relation spéciale, la S-relation (qui est une sorte “dʹordre partiel restreint”), soit préservée relativement à la famille F∗. Cette S-relation découle des propriétés de lʹensemble des zéros Sturmiens pour les équations paraboliques linéaires. Comme principales applications, nous montrons la stabilité du comportement auto-similaire pour l’équation des milieux poreux, l’équation du p-Laplacien et l’équation duale des milieux poreux dans R, avec des perturbations non-linéaires dʹordre inférieur. Pour de telles équations paraboliques en dimension un, la S-relation est en fait le théorème de Sturm sur la non-croissance du nombre dʹintersection entre les solutions générales et les solutions particulières avec donnée initiale dans F∗. Cette propriété Sturmienne joue un role fondamental et reste valable pour l’équation des milieux poreux non perturbée, mais cela nʹest plus le cas pour des équations perturbées.
