Le q-dénombrement générique dʹune espèce: Existence et méthode de calcul O

For every species F of structures and every partition λ = (λ1, λ2,…) of an integer n, let us denote by tλ = tλ(F) the number of orbits under the natural action of the Young subgroup Gλ = Gλ1, λ2,… ⩽ Gn on the set of all F-structures with underlying set [n]. The goal of this text is to prove the existence and to compute the coefficients of a ‘generic’ formal power series of the form fn(q)=tn+(-tn+tn-1,1)q+(-tn+tn-2,2)q2+(-tn-1,1-tn-2,2+tn-2,1,1+tn-3,3)q3+⋯. This series describes, for each value of k, the individual coefficient of qk in the q-enumeration of F-structures for every sufficiently large n. The q-enumeration considered here was introduced by Hélène Décoste (1989, 1993). It consists of a polynomial in q of degree n(n − 1)/2 which interpolates between unlabeled enumeration (q = 0) and labeled enumeration (q = 1) of F-structures on n points. The existence of the generic q-series was suggested by Décoste (1989, 1993) after examining tables for small values of n. Résumé Pour chaque espèce de structures F et chaque partage λ = (λ1, λ2,…) dʹun entier n, désignons par tλ = tλ(F) le nombre dʹorbites de lʹaction naturelle du sous-groupe de Young Gλ = Gλ1, λ2,… ⩽ Gn sur lʹensemble des F-structures dont [n] est lʹensemble sous-jacent. Le but du présent texte est de démontrer lʹexistence et de calculer les coefficients dʹune série formelle ⪡générique⪢ de la forme fn(q)=tn+(-tn+tn-1,1)q+(-tn+tn-2,2)q2+(-tn-1,1-tn-2,2+tn-2,1,1+tn-3,3)q3+⋯. Cette série décrit, pour chaque valeur de k, le coefficient individuel de qk dans le q-dénombrement des F-structures pour toute cardinalité n suffisamment grande. Le q-dénombrement considéré ici a été introduit par Hélène Décoste (1989, 1993). Il consiste en un polynôme en q de degrén(n − 1)/2 qui effectue une interpolation naturelle entre le dénombrement non-étiqueté (q = 0) et le dénombrement étiqueté (q = 1) des F-structures sur n points. Lʹexistence de la q-série générique a été suggérée par Décoste (1989, 1993) suite à lʹexamen de tables pour les petites valeurs de n.