Une généralisation automorphe des nombres de Stirling Original Research Article

Let [n] be the set {1,2, … , n} and σ a given permutation in Sn, the symmetric group on [n]. The (unsigned) Stirling numbers of the first kind enumerate the permutations on [n] with k cycles and those of the second kind give the number partitions of [n] having k blocks. In this paper we compute the number of permutations on [n] with k cycles and the number of partitions on [n] having k blocks that are fixed under the action of σ (i.e., for which σ is an automorphism). This gives rise to new generalizations and q-analogues of Stirling numbers of the first and second kind. Résumé Soit [n] lʹensemble {1,2, … ,n} et soit σ une permutation de Sn, le groupe symétrique sur [n]. Les permutations de [n] ayant k cycles sont énumérées par les nombres de Stirling de première sorte (non-signés) et les partitions de [n] ayant k parts par ceux de deuxième sorte. Dans cet article, nous calculons le nombre de permutations sur [n] ayant k cycles et de partitions sur [n] ayant k parts qui sont fixées par lʹaction de σ (cʹest à-dire pour lesquelles σ est un automorphisme). Nous obtenons ainsi de nouvelles généralisations et q-analogues des nombres de Stirling de première et deuxième sorte.