The number of convex polyominoes reconstructible from their orthogonal projections Original Research Article

Many problems of computer-aided tomography, pattern recognition, image processing and data compression involve a reconstruction of bidimensional discrete sets from their projections. [3–5,10,12,16,17]. The main difficulty involved in reconstructing a set Λ starting out from its orthogonal projections (V,H) is the ‘ambiguity’ arising from the fact that, in some cases, many different sets have the same projections (V,H). In this paper, we study this problem of ambiguity with respect to convex polyominoes, a class of bidimensional discrete sets that satisfy some connection properties similar to those used by some reconstruction algorithms. We determine an upper and lower bound to the maximum number of convex polyominoes having the same orthogonal projections (V,H), with V ∈ Nn and H ∈ Nm. We prove that under these connection conditions, the ambiguity is sometimes exponential. We also define a construction in order to obtain some convex polyominoes having the same orthogonal projections. Résumé La reconstruction des ensembles discrets à deux dimensions par leurs projections est utilisée en plusieurs problèmes de tomographie assistée par ordinateur, reconnaissance de formes, elaboration dʹimages et compression de données [3–5,10,12,16,17]. La difficulté principale de la reconstruction dʹun ensemble Λ à partir de ses projections orthogonales (V,H) est donnée par lʹambiguité qui vient de lʹexistence, en certains cas, de plusieurs ensembles ayant les mêmes projections (V,H). Dans ce papier, nous étudions ce problème dʹambiguité dans lʹensemble des polyominos convexes, une classe dʹensembles discrets à deux dimensions qui ont des propriétés de connession semblables à celles utilisées par quelques algorithmes de reconstruction. Nous déterminons une limitation supérieure et une limitation inférieure pour le nombre maximum de polyominos convexes qui satisfont les couples de vecteurs (V,H), avec V ∈ Nn, H ∈ Nm. Nous suggérons aussi une construction qui permet dʹobtenir des polyominos convexes ayant les mêmes projections orthogonales.