Juggling and applications to q-analogues Original Research Article

We consider juggling patterns where the juggler can only catch and throw one ball at a time, and patterns where the juggler can handle many balls at the same time. Using a crossing statistic, we obtain explicit q-enumeration formulas. Our techniques give a natural combinatorial interpretation of the q-Stirling numbers of the second kind and a bijective proof of an identity of Carlitz. By generalizing these techniques, we give a bijective proof of a q-identity involving unitary compositions due to Haglund. Also, juggling patterns enable us to easily compute the Poincaré series of the affine Weyl group Ad−1. Résumé Nous considérons des configurations de jonglerie dans lesquelles le jongleur ne peut attraper ou lancer quʹune seule balle à la fois, ainsi que les configurations où le jongleur peut manipuler plusieurs balles à la fois. En considérant une statistique de croisements, nous obtenons des formules explicites de q-énumération. Nos techniques fournissent des interprétations combinatoires naturelles pour les q-nombres de Stirling de deuxième espèce ainsi quʹune preuve bijective dʹune identité de Carlitz. Généralisant ces techniques, nous donnons une preuve bijective dʹune q-identité des compositions unitaires due à Haglund. Les configurations de jonglerie nous permettent aussi de calculer la série de Poincaré du groupe du Weyl affine Ad−1.