Abstract :
Let r(w) denote the number of reduced words for an element w in a Coxeter group W. Stanley proved a formula for r(w) when W is the symmetric group An, and he suggested looking at r(w) for the affine group An. We prove that for any affine Coxeter group Xn there is a finite number of types of elements in Xn, such that to every element w can be associated (1) a type t, (2) an element v in the finite group Xn, and (3) an n-tuple (m1,m2,…,mn) of integers mi ⩾ 0. Then r(w) = rvt(m1,…,mn), and for every rvt and for large enough mi, a homogeneous linear n-dimensional recurrence holds. For An, this takes a nice combinatorial form. We also discuss a canonical reduced word for w associated to its n-tuple.
Résumé
Soit r(w) le nombre de mots réduits pour un élément w dʹun groupe de Coxeter. Stanley a démontré une formule pour r(w) dans le cas du groupe symétrique An, et il a posé le problème dʹétudier r(w) pour le groupe affine An. Nous montrons quʹil y a, pour tout groupe de Coxeter affine Xn, un nombre fini de types dʹéléments tels quʹon peut associer à chaque élément w (1) un type t, (2) un élément v du groupe fini Xn, et (3) une suite (m1,m2,…,mn) dʹentiers mi ⩾ 0. Alors, r(w) = rvt(m1,…,mn) et pour mi assez grands, rvt satisfait à une récurrence homogène linéaire n-dimensionelle. Pour An, cela prend une forme combinatoire agréable. Nous présentons aussi une décomposition réduite canonique pour w, associé à la suite des mi.
