Abstract :
In [5] Stanley associated to a (finite) graph G a symmetric function XG generalizing the chromatic polynomial of G. Using an involution on a special type of arrays constructed by Gessel and Viennot [1], we show that if G is the incomparability graph of a (3 + 1)-free poset, then XG is a nonnegative linear combination of Schur functions. Since the elementary symmetric functions are nonnegative linear combinations of Schur functions, this result gives supportive evidence for a conjecture of Stanley and Stembridge ([5, Conjecture 5.1] or [6, Conjecture 5.5]).
Résumé
Dans [5], Stanley associe à tout graphe (fini) G une fonction symétrique XG qui généralise le polynôme chromatique de G. En utilisant une involution sur certains tableaux construits par Gessel et Viennot [1], nous démontrons que si G est le graphe de la relation dʹincomparabilité dʹun ensemble partiellement ordoné qui ne contient pas (3 + 1), alors XG est une combinaison linéaire de fonctions de Schur dont les coefficients sont positifs. Puisque les fonctions symétriques élémentaires sont des combinaisons linéaires de fonctions de Schur dont les coefficients sont positifs, notre résultat confirme une conjecture de Stanley et Stembridge ([5, Conjecture 5.1] ou [6, Conjecture 5.5]).
