A characterization of the components of the graphs D(k,q) Original Research Article

We study the graphs D(k,q) of [4] with particular emphasis on their connected components when q is odd. In [6] the authors proved that these components (most often) provide the best-known asymptotic lower bound for the greatest number of edges in graphs of their order and girth. It was further shown in [6] that D(k,q) has at least qt−1 components, where t = ⌊(k + 2)/4⌋. In this paper we prove that the value qt−1 is precise and that the numerical invariant introduced in [6] completely characterizes the components of D(k,q). Some general results regarding the relationship between D(l,q) and D(k,q) (l < k) are also obtained. Résumé On étudie les graphes D(k,q) de [4], en prêtant une attention partciluière à leurs composantes connexes dans le cas où q est impair. Dans lʹarticle [6], les auteurs ont prouvé que ces composantes produisent (dans la plupart des cas) la meilleure borne inférieure asymptotique que lʹon connaisse pour le nombre maximum dʹarêtes dans un graphe dont le nombre de sommets et la longueur du cycle le plus court sont spécifiés. Toujours dans [6] il est démontré que D(k,q) a au moins qt−1 composantes, où t = ⌊(k + 2)/4⌋. Dans lʹarticle présent nous montrons que la valeur qt−1 est atteinte et quʹun certain paramètre introduit dans [6] permet de caractériser complètement les composantes de D(k,q). On obtient aussi des résultats généraux portant sur la relation entre D(l,q) et D(k,q) pour l < k.