Shifted quasi-symmetric functions and the Hopf algebra of peak functions Original Research Article

In his work on P-partitions, Stembridge defined the algebra of peak functions Π, which is both a subalgebra and a of the algebra of quasi-symmetric functions. We show that Π is closed under coproduct, and therefore a Hopf algebra, and describe the kernel of the retraction. Billey and Haiman, in their work on Schubert polynomials, also defined a new class of quasi-symmetric functions—shifted quasi-symmetric functions — and we show that Π is strictly contained in the linear span Ξ of shifted quasi-symmetric functions. We show that Ξ is a coalgebra, and compute the rank of nth graded component. Résumé Dans ses travaux sur les P-partitions, Stembridge définit lʹalgèbre Π des fonctions de pics. Cette algèbre peut être vue comme une sous-algèbre ou un quotient de lʹalgèbre des fonctions quasi-symétriques. Nous montrons ici que Π est fermée sous le coproduit, et est donc une algèbre de Hopf. Nous décrivons aussi le noyau du quotient ci-dessus. Dʹautre part, dans leurs travaux sur les polynômes de Schubert, Billey et Haiman ont défini une nouvelle classe de fonctions quasi-symétriques: les fonctions quasi-symétrique décalé. Nous montrons que Π est strictement contenue dans lʹespace linéaire Ξ des fonctions quasi-symétrique décalé. Puis nous montrons que Ξ est une coalgèbre et calculons les dimensions des composantes de degrée n.