Abstract :
We obtain various explicit integer and polynomial sequences enumerating R-enriched multigraphs having k labeled edges (or arcs), k=0,1,2,… . The vertices of the multigraphs are unlabelled. Here, R denotes an arbitrary species of combinatorial structures used to ‘enrich’ the multigraphs by endowing the set of edges (or arcs) joining any pair (or ordered pair) of vertices with an R-structure. Examples include ordinary multigraphs, simple graphs, digraphs, cyclically or linearly enriched multigraphs, according to the choice of the enriching species R. We obtain explicit formulas and recursive schemes for these enumerations for an arbitrary species R. The case of colored edges, arcs or loops is also analyzed. We conclude with a few tables made up using computer algebra.
Résumé
Nous obtenons de manière explicite diverses suites dʹentiers et de polynômes dénombrant les multigraphes R-enrichis ayant k arêtes (ou arcs) étiqueté(e)s, k=0,1,2,… . Les sommets des multigraphes sont non étiquetés. Ici, R désigne une espèce de structures combinatoires quelconque qui ‘enrichit’ les multigraphes en munissant dʹune R-structure lʹensemble des arêtes (ou arcs) joignant chaque paire (ou couple) de sommets. Selon le choix de lʹespèce enrichissante R, on obtient par exemple les multigraphes ordinaires, les graphes simples, les graphes orientés, les graphes cycliquement ou linéairement enrichis. Nous obtenons des formules explicites et schémas récursifs effectuant ces dénombrements pour une espèce R quelconque. Le cas des arêtes, arcs ou boucles colorés est aussi analysé. Nous terminons par quelques tables construites à lʹaide du calcul formel informatisé.
