Enumeration of planar two-face maps Original Research Article

We enumerate unrooted planar maps (up to orientation-preserving homeomorphism) having two faces, according to the number of vertices and to their vertex and face degree distributions, both in the (vertex) labelled and unlabelled cases. We first consider plane maps, i.e., maps which are embedded in the plane, and then deduce the case of planar (or sphere) maps, embedded on the sphere. A crucial step is the enumeration of two-face plane maps having an antipodal symmetry and use is made of Liskovets’ method in the process. The motivation for this research comes from the topological classification of Belyi functions. Résumé Nous dénombrons les cartes planaires (à homéomorphisme préservant l’orientation près) non pointées à deux faces, selon le nombre de sommets et selon la distribution des degrés des sommets et des faces, étiquetées (aux sommets) ou non. Nous abordons dʹabord les cartes planes, cʹest-à-dire plongées dans le plan, et déduisons ensuite le cas des cartes planaires (ou sphériques), plongées sur la sphère. Une étape cruciale est le dénombrement des cartes planes à deux faces admettant une symétrie antipodale et la méthode de Liskovets est utilisée pour cela. La motivation de cette recherche provient de la classification topologique des fonctions de Belyi.