On some relations between 2-trees and tree metrics Original Research Article

A tree function (TF) t on a finite set X is a real function on the set of the pairs of elements of X satisfying the four-point condition: for all distinct x, y, z, w ∈ X, t(xy)+t(zw)⩽ max{t(xz) + t(yw), t(xw) + t(yz)}. Equivalently, t is representable by the lengths of the paths between the leaves of a valued tree Tℓ. TFs are a straightforward generalization of the tree dissimilarities and tree metrics of the literature. A graph Θ is a 2-tree if it belongs to the following class Q: an edge-graph belongs to Q: if Θ′ ∈ Q and yz is an edge of Θ′, then the graph obtained by the addition to Θl of a new vertex x adjacent to y and z belongs to Q. These graphs, and the more general k-trees, have been studied in the literature as generalizations of trees. It is first explicited here how to make a TF tΘ, d correspond to any positively valued 2-tree Θd on X. Then, given a tree dissimilarity t, the set Q(t) of the 2-trees Θ such that t = tΘ, t is studied. Any element of Q(t) gives a way of summarizing t by its restriction to a minimal subset of entries. Several characterizations and properties of the elements of Q(t) are given. We describe five classes of such elements, including two new ones. Associated with a dissimilarity of the general type, these classes of 2-trees lead to methods for the recognition and fitting of tree dissimilarities. Résumé Une fonction dʹarbre (TF) t sur un ensemble fini X est une fonction réelle sur lʹensemble des parties à deux éléments de X vérifiant la condition des quatre points: pour tous x, y, z, w ∈ X, distincts, t(xy)+t(zw)⩽ max{t(xz)+t(yw), t(xw)+t(yz)}. De façon équivalente, t est représentable par les longueurs des chemins entre les feuilles dʹun arbre valué Tℓ. Ces fonctions constituent une généralisation immédiate des dissimilarités et distances dʹarbres de la littérature. Un graphe Θ est un 2-arbre sʹil appartient à la classe Q suivante: un graphe réduit à deux sommets adjacents appartient àQ; si Θ′ ∈ Q et si yz est une arête de Θl, le graphe obtenu en ajoutant à Θl un nouveau sommet x adjacent ày et z appartient à Q. Ces graphes, et plus généralement les k-arbres, ont été étudiés dans la littérature comme généralisations des arbres. On montre dʹabord ici comment une TF tΘ, d correspond à tout 2-arbre positivement valuéΘd sur X. Puis, étant donnée une dissimilarité dʹarbre t, on étudie lʹensemble Q(t) des 2-arbres Θ tels que t = tΘ, t. Plusieurs caractérisations et propriétés de ses éléments sont obtenues. Tout élément de Q(t) fournit un résumé de t par sa restriction à un sous-ensemble dʹentrées minimal; nous décrivons cinq classes de tels éléments, dont deux entièrement nouvelles. Associés aux dissimilarités quelconques, ces classes de 2-arbres conduisent à des méthodes de reconnaissance et dʹajustement des distances dʹarbres