Abstract :
A polynomial in two variables is defined by image, where Πn is the lattice of partitions of the set {1, 2, …, n}, Gπ is a certain interval graph defined in terms of the partition gp, χ(Gπ, x) is the chromatic polynomial of Gπ and |π| is the number of blocks in π. It is shown that image, where S(n, i) is the Stirling number of the second kind and (x)i = x(x − 1) ··· (x − i + 1). As a special case, Cn(−1, −t) = An(t), where An(t) is the nth Eulerian polynomial. Moreover, image where aπ is the number of acyclic orientations of Gπ.
Résumé
On définit un polynôme en deux variables par image, où Πn est le treillis des partitions de lʹensemble {1, 2, …, n}, Gπ est un certain graphe dʹintervalles défini en termes de la partition π, χ(Gπ, x) est le polynôme chromatique de Gπ et |π| est le nombre de blocs de π. On montre que image où S(n, i) est le nombre de Stirling de deuxième espèce et (x)i = x(x − 1) ··· (x − i + 1). En particulier, Cn(−1, −t) = An(t), où An(t) est le n-ième polynôme eulérien. De plus, image, où aπ est le nombre dʹorientations acycliques de Gπ.
