كلي ترين حالت حل معادله لاپلاس به روش تفاضلات محدود و مقايسه سه روش حل ژاكوبي، گوس- سايدل و واهلش

كلي ترين حالت حل معادله لاپلاس به روش تفاضلات محدود و مقايسه سه روش حل ژاكوبي، گوس- سايدل و واهلش

معادله لاپلاس برای توضیح بسیاری از شرایط فیزیكی در حال تعادل از جمله توزیع حرارت در جامدات، الكترواستاتیك، جریان های دو بعدی غیر چرخشی و حركت آب های زیرزمینی كاربرد دارد. در اكثر تحقیقات، حل معادله دو بعدی لاپلاس با روش تفاضلات محدود و در حالت ساده شده ( x y) ارائه شده است. در این تحقیق ابتدا با بسط سری تیلور، كلی ترین حالت حل به روش تفاضلات محدود كه درآن x y بوده، استخراج و سپس مثالی از كاربرد آن در حركت آب زیرزمینی و با در نظر گرفتن شرایط مرزی ارائه می گردد. برای حل این مثال، كدی به زبان فرترن نوشته شده كه هدف از آن نشان دادن شیوه حل دستگاه معادلات به روش تفاضلات محدود و البته با لحاظ نمودن شرایط مرزی و نیز تعیین تعداد تكرارها جهت رسیدن به دقت مورد نظر می باشد. برای این كار از سه روش حل عددی ژاكوبی، گوس- سایدل و واهلش (به همراه تعیین مقدار بهینه ضریب واهلش) استفاده گردیده است. هدف دیگر مقاله تعیین مقدار بهینه ضریب واهلش از نظر حداقل تكرار برای رسیدن به جواب است. نتایج نشان می دهند كه سه روش مذكور به ترتیب ضعیف ترین تا توانا ترین روش حل به لحاظ تعداد تكرارها بوده ومقدار بهینه ضریب واهلش با حداقل تكرار برابر 1/3 می باشد. نتایج این پژوهش می تواند برای برنامه نویسان رایانه ای جهت استفاده بهینه از زمان محاسبات و حافظه رایانه كمك نماید