روشهاي هندسي براي يكسان سازي نامساويهاي يكطرفه ي معادلات انتشار غيرخطي با لزجت صفر

Geometric methods for unifying one-sided inequalities of zero-viscosity non-linear diffusion equations

در اين مقاله ي مروري استدلال هاي هندسي مطرح شده در رابطه با معادله انتشار غير خطي با شار محدب كه معادله محيط متخلخل، معادله انتشار سريع، معادله گرما، معادله -لاپلاس (و حتي به نوعي معادله ناويه - استوكس) همگي حالتهاي خاصي از آن هستند را مطالعه مي كنيم. به اين ترتيب كه تقريب هاي يك طرفه از نوع نامساوي اولينيك براي قوانين بقا و نامساوي هاي از نوع آرنسون - بنيلان را كه در بر دارنده ويژگي هاي يكتايي و منظم بودن جواب هاي با لزجت صفر از معادلات گوناگون انتشار هستند با استفاده از يك شرط هندسي به ظاهر ساده در مورد مجموعه تراز صفر يكسان سازي شده است و شرط هندسي معادل با آن نامساويها به دست آمده است. به دنبال آن نتايجي درباره شيب دار تر بودن جواب بنيادي از ميان تقريب هاي ديگر، شرط هندسي معادل با آنتروپي بودن جواب و همچنين به طور يكنواخت بودن وردش جوابها نيز حاصل شده است. نهايتا مطالعاتي در گسترش مساله و كارايي رويكرد هندسي به دست آمده در زمينه يافتن جوابهاي بنيادي معادله انتشار غير خطي چند بعدي و قوانين بقا با شار غير محدب نيز صورت گرفته كه تمامي اين مطالب جمع آوري و مطالعه شده است.

In this survey article, we study the geometric arguments exposed to nonlinear diffusion equation with nonconvex flux which porous medium equation, fast diffusion equation, heat equation, p-Laplacian equation (and even Navier-Stokes equation, in some sense) are the special cases of it. In such a way, one-sided estimates of the Oleinik one-sided inequality for conservation laws and Aronson-Benilan type inequalities have been unified by a simple geometric condition about zero level sets. It is to be noted that these estimates are one-sided inequalities that provide the features of the zero-viscosity solutions of various diffusion equations such as the uniqueness and regularity. Also, the unification of one-sided inequalities is given in a geometric statement that it is shown to be equivalent to the previously mentioned one-sided inequalities. In this way, some results about the steeper of fundamental solutions than any other bounded solutions, the geometric statement equivalent to the existence and uniqueness of the entropy solutions and the boundedness of total variations on any bounded domains for uniformly convex have been obtained. In a final manner, some studies about the extension and efficiency of the geometric approach to obtain the fundamental solutions of multi-dimensional non linear diffusion equations and conservation laws with non-convex flux have been collected.