پيچش‌هاي فيزيكي و بيوساواري در سيالات نسبيتي ايده‌آل

Physical and Biot-Savart helicities in ideal relativistic fluids

در سيالات هم‌آنتروپي و تراكم پذير نسبيتي مسيرهاي سيالي به‌صورت خانواده‌اي از وابرساني ‌هاي تك پارامتري جهت نگهدار و اندازه نگهدار و بنابراين لزوماً بدون تكينگي (نگاشت دوسويه مشتق‌پذير ناتكين) بر روي يك ناحيه بسته با مرز هموار در فضاي اقليدسي سه بعدي در نظر گرفته‌شده است. با تعريف يك اندازه‌ي پايسته تحت اين وابرساني كه در ادامه همان تعداد ذرات سيالي در نظر گرفته مي شود، پايستگي‌ دو نوع پيچش تحت اين وابرساني‌ها با نام‌هاي پيچش فيزيكي و پيچش بيوساواري اثبات مي‌شود. با استفاده از تحليل توپولوژيكي مشاهده مي‌شود كه براي زير فضاي گره‌هاي هماهنگ دو نوع پايه‌ي متعامد وجود دارد. اختلاف دو نوع پيچش يادشده به ضرب داخلي بردارهاي عضو فضاي گره‌هاي هماهنگ تقليل مي‌يابد كه براي فضاهاي همبند ساده هردو پيچش بر هم منطبق هستند ولي براي فضاهاي همبند غير ساده لزوماً اين‌طور نيست. در پيچش نسبيتي بجاي سرعت نسبيتي از تكانه‌ي نسبيتي تعميم‌يافته استفاده مي‌شود كه داراي تفاوت‌هايي با حالت غيرنسبيتي است.

In isentropic and compressible relativistic flows, fluid trajectories are considered as orbits of a family of one parameter, smooth, orientation preserving, and nonsingular diffeomorphisms on a compact and smooth-boundary domain in the Euclidian 3-space which necessarily preserve a finite measure, later interpreted as the fluid particles number. Under such diffeomorphisms the Biot-Savart helicity and the well-known Physical helicity are conserved. The difference between these two helicities reflects some topological features of the domain and is shown for simply connected domains the two helicities coincide. For fluid domains consisting of several disjoint solid tori, at each time, the harmonic knot subspace of smooth vector fields on the fluid domain is found to have two independent base sets with a special type of orthogonality between these two bases by which a topological description of the generalized momentum and its curl depending on the helicity difference is achieved since this difference is shown to depend only on the harmonic knot parts of velocity, vorticity, and its Biot-Savart vector field.