APX-سختي مسائل پوشش همبند واحد در فضاهاي اقليدسي

APX-hardness of Unit Connected Covering Problems in Euclidean Spaces

مجموعه ‎$P subset mathbb{R}^m$‎ داده شده است. مجموعه ‎$C subset mathbb{R}^m$‎ را يك پوشش همبند واحد ‎$P$‎ گوييم، هرگاه فاصله هر عضو ‎$P$‎ از ‎$C$‎ حداكثر ‎$1$‎ و نيز گراف ‎$G_1(C)$‎ همبند باشد. ‎$G_1(C)$‎ گرافي است با مجموعه راس‌هاي ‎$C$‎كه ميان هر دو راس آن يال وجود دارد اگر و تنها اگر فاصله نقاط متناظرشان حداكثر ‎$1$‎ باشد. اين مساله مي‌تواند كاربردهايي در سرويس‌دهي‌هايي نظير آنتن‌دهي و يا ارسال ربات به اعضاي ‎$P$‎ داشته باشد. همبندي گراف بالا به همبندي شبكه سرويس‌دهي ‎$C$‎ و واحد بودن به محدوديت سرويس‌رساني هر عضو اشاره دارد. نشان مي‌دهيم چه در حالت كلي، چه در حالتي كه ‎$C$‎ زيرمجموعه‌اي از يك مجموعه متناهي داده شده در ‎$mathbb{R}^m$‎ باشد، محاسبه كوچك‌ترين پوشش واحد ‎$-mathcal{APX}$‎سخت است.