The Largest Stability Hypercube for Families of Polynomials with Linear Uncertainty

Let ¿(s) = ¿0(s) = ¿0(s) + a1 ¿1(s) + a2¿2(s) +...+ ak¿k(s) be a polynomial with coefficients that depend linearly on real parameters ai, 1 ¿ i ¿ k. Let ¿0(s) be stable of degree n and ¿i, 1 ¿ i ¿ k, of degree less than n. Assume that the ai are allowed to take values in the k dimensional hypercube ¿¿a = {(a1,...,ak)¿R^k: a^-i ¿ ai ¿ ¿ a⁺i}, where a^-1i ≪ 0, a⁺i ≫ 0, 1 ¿ i ¿ k are fixed and ¿ ¿ 0. In this paper we consider the problem of how to compute the largest value ¿* such that the family is stable in ¿¿a for 0 ¿ ¿ ≪ ¿*. Considering the problem in the frequency domain, a function of frequency can be constructed whose infimum is ¿*. In this paper we show that to compute ¿* one need only consider the values of this function at a finite number of frequencies. The number of frequencies is polynomial in k, and the frequencies themselves are explicitly determined from the given data.