وقوع تشديد پارامتريك در ارتعاشات عرضي ورق هاي مستطيلي واقع بر بستر الاستيك تحت عبور مجموعه پيوسته اي از جرم هاي متحرك

Occurrence of parametric resonance in vibrations of rectangular plates resting on elastic foundation under passage of continuous series of moving masses

در اين مقاله، ناپايداري ناشي از وقوع تشديد پارامتريك در ارتعاش عرضي ورق مستطيلي واقع بر بستر الاستيك تحت عبور مجموعه پيوسته اي از جرم هاي متحرك به عنوان مدلي از تعامل پل با بارهاي متحرك، بررسي شده است. براي استخراج معادله ديفرانسيل پاره اي حاكم بر حركت عرضي ورق، اصل هميلتون تعميم يافته بكار گرفته شده است. متعاقباً با استفاده از روش گالركين، معادله ديفرانسيل پاره اي حاكم به مجموعه اي از معادلات ديفرانسيل معمولي تبديل گرديده است. لحاظ كردن همه ي مولفه هاي شتاب جرم متحرك از جمله شتاب محلي، كريوليس و مركزگرا در تحليل، منجر به ظاهر شدن ماتريس هاي متغير با زمان جرم، ميرايي و سختي در ضرايب معادله شده است. عبور متناوب و پيوسته ي جرم هاي متحرك در طول مسيري مستقيم روي سطح ورق، سيستم ديناميكي مورد بررسي را به سيستمي تحت تحريك پارامتريك با ضرايب پريوديك تبديل مي كند. با اعمال روش نيمه تحليلي هارمونيك بالانس نموي بر معادلات بدست آمده، پايداري سيستم براي مقادير وسيعي از جرم و سرعت بارهاي عبوري و شرايط مرزي مختلف ورق تحليل شده است. علاوه بر اين، تاثير سختي بستر الاستيك بر پايداري ورق نيز بررسي شده است. نتايج نشان مي دهد كه استفاده از تكيه گاه هاي گيردار براي لبه هاي ورود و خروج جرم ها روي سطح ورق، منجر به تشكيل زبانه اي ناپايدار در صفحه ي پارامترهاي جرم عبوري مي شود؛ زبانه اي كه در صورت استفاده از تكيه گاه ساده پديدار نمي شود. همچنين، مشاهده مي شود كه با افزايش سختي بستر الاستيك، سرعت هاي بحراني جرم هاي متحرك افزايش مي يابد. با انجام شبيه سازي هاي عددي، صحت نتايج پيش بيني شده با روش نيمه تحليلي، تاييد شده است.

In this paper, instability due to occurrence of parametric resonance in transverse vibration of a rectangular plate on an elastic foundation under passage of continuous series of moving masses is examined as a model of bridge-moving loads interaction. The extended Hamilton’s principle is employed to derive the partial differential equation of motion. Subsequently, the governing partial differential equation is transformed into a set of ordinary differential equations by the Galerkin procedure. Considering local, Coriolis and centripetal acceleration components of the moving masses in the analysis leads to appearance of time-varying mass, damping and stiffness matrices in the coefficients of the governing equation. The passage of continuous series of moving masses along the rectilinear path results in a parametrically excited system with periodic coefficients. Applying incremental harmonic balance method as a semi-analytical method to the governing equations, stability of the system is investigated for a wide range of masses and velocities of the passing loads and different boundary conditions of the plate. Moreover, effect of the foundation stiffness on stability of the plate is examined. Results indicate that using clamped supports for the edges of entrance and departure of masses over the plate’s surface leads to formation of an instability tongue in the parameters plane which does not appear for the case of using simply supports. Also, it is observed that critical velocities of the moving masses will be increased by escalation of the foundation stiffness. Numerical simulations confirm the accuracy of the semi-analytical results.