حل تحليلي مساله ترموالاستيسيته در استوانه جدار ضخيم تحت بار حرارتي گذرا

Analytical solution of the thermoelasticity problem in a thick-walled cylinder subjected to transient thermal loading

مساله ترموالاستيسيته در يك استوانه جدارضخيم همسانگرد و همگن توخالي به صورت تحليلي و با استفاده از تبديل هنكل و تبديل لاپلاس شد. شرايط مرزي مكانيكي و حرارتي براي سطح داخلي و سطح خارجي استوانه به صورت وابسته به زمان در نظر گرفته شده‌اند. براي شرايط مرزي دمايي، خود دما در مرزها اعمال شده و براي شرايط مرزي مكانيكي نيز، اعمال تنش بر روي سطوح داخلي و خارجي استوانه توخالي در نظر گرفته شده‌است. توزيع دما در راستاي ضخامت استوانه بدست آمده و سپس با حل معادله سازه‌اي ديناميكي، روابط به صورت حل بسته براي ميدان‌هاي جابجايي، تنش شعاعي و تنش محيطي ارائه شده‌اند. براي بررسي يك حالت نمونه، دما با تابعيت نمايي نسبت به زمان در سطح داخلي استوانه و دماي صفر در سطح خارجي آن اعمال شده، و تنش‌هاي مكانيكي در سطح داخلي و خارجي استوانه صفر در نظر گرفته شده‌اند. با توجه به ديناميكي بودن مساله، پس از رسم نمودارهاي تنش، موج شوك حرارتي به وضوح قابل مشاهده است. سپس با استفاده از نمودارهاي رسم شده تنش، لحظه رسيدن موج اتساعي به چند موقعيت شعاعي مشخص محاسبه شده، و سپس نتايج آن با رابطه معمولي محاسبه زمان مقايسه شده‌است.

The thermoelasticity problem in a thick-walled isotropic and homogeneous cylinder is solved analytically using finite Hankel transform and Laplace transform. Time-dependent thermal and mechanical boundary conditions are prescribed on the inner and the outer surfaces of the hollow cylinder. For the thermal boundary conditions, the temperature itself is prescribed on the boundaries. For the mechanical boundary conditions, the tractions are prescribed on both the inner and the outer surfaces of the hollow cylinder. Obtaining the distribution of the temperature throughout the cylinder, the dynamical structural problem is solved and closed-form relations are derived for radial displacement, radial stress and hoop stress. As a case study, exponentially decaying temperature with respect to time is prescribed on the inner surface and the temperature of the outer surface is considered to be zero, where the mechanical tractions on the inner and the outer surfaces of the hollow cylinder are assumed to be zero. On solving the dynamical thermoelasticity problem, a thermal shock was observed after plotting the results. Using the obtained plots, instants of dilatation wave being reached to specific radial positions are computed and compared with those from the classical formula.