نگاشت همديس در طرح‌هاي انگشتي سافمن- تيلور

Conformal mapping for the Saffman-Taylor fingering

انگشت‌هاي وشكسان حاصل از ناپايداري سافمن - تيلور را كه يك رشد لاپلاسي است با استفاده از نگاشت همديس بررسي كرديم. انگشت‌هاي وشكسان از بروز ناپايداري سافمن - تيلور در مرز مشترك بين دو سيال در سلول هل - شاو مستطيلي، هنگامي كه سيال با وشكساني كمتر سيال با وشكساني بيشتر را مي‌راند پديد مي‌آيد و به‌ وسيله تكنيك‌هاي نگاشت همديس، معادله لاپلاس را با شرايط مرزي براي فصل مشترك دو سيال حل مي‌كنيم، سپس آن را در محيط كامپيوتري به تصوير مي‌كشيم و آثار كشش سطحي را در ديناميك‌هاي رقابت طرح‌هاي انگشتي در مسئله سافمن - تيلور با هندسه كانال بررسي مي‌كنيم. اعمال كشش سطحي در معادلات، باعث شكافت نوك در انگشت بزرگتر (جلوتر) شد. در مرتبه صفرم اختلال انگشت‌ها را با و بدون كشش سطحي معادل يكديگر يافتيم. ولي در مرتبه اول اختلال، تفاوت مشاهده شد و در حل‌هاي با كشش سطحي محدود در انگشت بزرگتر (جلوتر) تشكيل انگشت ثانويه را مشاهده كرديم، سپس با اعمال اختلال مربوط به رشد، تحول انگشت ثانويه در زمان و رشد آن را به‌ دست آورديم. در پايان تأثير ميزان پارامتر‌هايي مانند وشكساني وكشش سطحي را روي انگشت‌ها بررسي كرديم. اين نتيجه با مشاهدات تجربي در تطابق خوبي است.

We studied the growth of viscous fingers as a Laplacian growth by conformal mapping. Viscous fingers grow due to Saffman-Taylor instability in the interface between two fluids, when a less viscous fluid pushes a more viscous fluid. As there was an interest in the rectangular Hele-Shaw cell, we solved the Laplacian equation with appropriate boundary conditions by means of conformal mapping techniques. The results were then visualized on a personal computer. Using these techniques, we studied singular effects of surface tension in the dynamics of the finger competition in the Saffman-Taylor problem with channel geometry. We also studied the motion of the interface between the two fluids in a pressure field. The more viscous fluid moves with a velocity proportional to the gradient of its pressure. In the two-dimensional case the interface can be described by a complex function which is analytic. Applying surface tension in the equations causes the tip-splitting at a longer finger (ahead). In zero order finger perturbation we had equal results for with and without surface tension. But for the first order perturbation, there was a difference. For limited surface tension in solutions for larger fingers (ahead), we observed tip splitting for larger fingers, which is completely in agreement with experimental observations.